高数第八章：向量代数和空间解析几何

平面方程

平面点法式方程

形式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

核心是通过平面的法向量以及平面上一条向量点乘为0来构造方程

具体情形：

1. 已知平面上一点以及该平面的法向量，设另一点构造平面上的一条向量点乘构造平面方程
2. 已知平面上三个点，可以得到三条向量，通过叉乘得到平面法向量，同理形式1

平面的一般式方程

形式：$Ax+By+Cz+D=0$，$\vec{n}=(A,B,C)$

• 若$D=0$<=>平面过0点

• 若$A=0$<=>$\vec{n}\perp x$轴；平面平行$x$轴

• 若$A=B=0$<=>$\vec{n}\perp XoY$；平面平行$XoY$面

具体情形：

1. 平面通过x轴和某点，则A和D为0，带入点坐标得到B,C的关系式，同除B/C，可得平面方程

截距式方程

形式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

本质上为平面与三轴的交点为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)

• 若$a=0，x$恒为0，平面为$YoZ$平面
• 不能有两个为0，否则是一条直线

空间直线方程

一般式

两平面相交实现，平面的方程可以用其他形式表示
$$
\begin{cases}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
\end{cases}
$$

转为点向式：

1. 找两个点，可以两式相加，两式相减来找出两个解转化为点向式
2. 找一个点，以及两个法向量做叉乘找到平行向量，从而转为点向式

点向式

已知直线过顶点和一条和直线平行的向量

形式：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

• 若$m=0$,$x$恒等于$x_0$,直线垂直$x$轴，也就平行于$YoZ$

  几何意义，为过一点平行于YoZ的平面上的任意一条线

• 若$m=n=0$,$x$恒等于$x_0$,$y$恒等于$y_0$，直线平行于$y$轴

  几何意义，为过一点平行于$y$轴的一条直线

参数式

形式：$t=\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

本质为
$$
\begin{cases}
x = x_0 + m t \
y = y_0 + n t \
z = z_0 + p t
\end{cases}
$$

两点式

通过两点得到向量，然后通过点向式方程

形式：$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$