高数第八章：向量代数和空间解析几何

平面方程

平面点法式方程

形式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$

核心是通过平面的法向量以及平面上一条向量点乘为0来构造方程

具体情形：

1. 已知平面上一点以及该平面的法向量，设另一点构造平面上的一条向量点乘构造平面方程
2. 已知平面上三个点，可以得到三条向量，通过叉乘得到平面法向量，同理形式1

平面的一般式方程

形式：$Ax+By+Cz+D=0$，$\vec{n}=(A,B,C)$

• 若$D=0$<=>平面过0点

• 若$A=0$<=>$\vec{n}\perp x$轴；平面平行$x$轴

• 若$A=B=0$<=>$\vec{n}\perp XoY$；平面平行$XoY$面

具体情形：

1. 平面通过x轴和某点，则A和D为0，带入点坐标得到B,C的关系式，同除B/C，可得平面方程

截距式方程

形式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$

本质上为平面与三轴的交点为(a,0,0),(0,b,0),(0,0,c)

• 若$a=0，x$恒为0，平面为$YoZ$平面
• 不能有两个为0，否则是一条直线

空间直线方程

一般式

两平面相交实现，平面的方程可以用其他形式表示
$$
\begin{cases}
A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \
A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0
\end{cases}
$$

转为点向式：

1. 找两个点，可以两式相加，两式相减来找出两个解转化为点向式
2. 找一个点，以及两个法向量做叉乘找到平行向量，从而转为点向式

点向式

已知直线过顶点和一条和直线平行的向量

形式：$\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

• 若$m=0$,$x$恒等于$x_0$,直线垂直$x$轴，也就平行于$YoZ$

  几何意义，为过一点平行于YoZ的平面上的任意一条线

• 若$m=n=0$,$x$恒等于$x_0$,$y$恒等于$y_0$，直线平行于$y$轴

  几何意义，为过一点平行于$y$轴的一条直线

参数式

形式：$t=\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p}$

本质为
$$
\begin{cases}
x = x_0 + m t \
y = y_0 + n t \
z = z_0 + p t
\end{cases}
$$

两点式

通过两点得到向量，然后通过点向式方程

形式：$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{z-z_1}{z_2-z_1}$

四类夹角

两向量夹角$\theta \in [0,\pi]$

$\vec{a}=(m_1,n_1,p_1),\vec{b}=(m_2,n_2,p_2)$，两向量夹角$\theta \in [0, \pi]$
$$
cos\theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\vec{b}|}=\frac{m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2}{\sqrt{m_1^2+n_1^2+p_1^2}\cdot \sqrt{m_2^2+n_2^2+p_2^2}}
$$

两直线夹角$\phi \in [0,\frac{\pi}{2}]$

$$
\begin{cases}
L_1:\frac{x-x_1}{m_1}=\frac{y-y_1}{n_1}=\frac{z-z_1}{p_1} \
L_2:\frac{x-x_2}{m_2}=\frac{y-y_2}{n_2}=\frac{z-z_2}{p_2} \
\end{cases}
$$

可得到方向向量$\vec{s_1}=(m_1,n_1,p_1),\vec{s_2}=(m_2,n_2,p_2)$,然后同理于两向量夹角

• $L_1\perp L_2<=>cos\phi=0<=>m_1m_2+n_1n_2+p_1p_2=0$
• $L_1//L_2<=>\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{p_2}$

直线与平面夹角$\phi \in [0,\frac{\pi}{2}]$

$$
\begin{cases}
L:\frac{x-x_0}{m}=\frac{y-y_0}{n}=\frac{z-z_0}{p} \
S:Ax+By+Cz+D=0 \
\end{cases}
$$

可以通过求解直线与平面法向量$\vec{n}=(A,B,C)$的夹角来推出与平面的夹角，
$$
sin\phi = |cos\theta|=\frac{|Am+Bn+Cp|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\cdot\sqrt{m^2+n^2+p^2}}
$$

• $L \perp S<=>L//\vec{n}<=>\frac{A}{m}=\frac{B}{n}=\frac{C}{p}$
• $L//SM<=>L \perp \vec{n}<=>Am+Bn+Cp=0$

两平面夹角$\phi \in [0,\frac{\pi}{2}]$

$$
\begin{cases}
S_1:A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \
S_2:A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \
\end{cases}
$$

通过求解两平面法向量$\vec{n_1}=(A_1,B_1,C_1),\vec{n_2}=(A_2,B_2,C_2)$的夹角即为两平面的夹角
$$
cos\phi = |cos\theta|=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\cdot\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}
$$

• $S_1\perp S_2<=>\vec{n_1} \perp \vec{n_2}<=>A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0$
• $S_1// S_2<=>\vec{n_1} // \vec{n_2}<=>\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$

六类距离

点到线距离

平面束

曲面方程

旋转曲面

曲线绕某直线旋转一周得到的曲面，曲线$f(x,y)=0$,绕x轴旋转一周得到$f(x,±\sqrt{y^2+z^2})$,即为旋转曲面方程

球面

$$
x^2+y^2+z^2==r^2
$$

圆心在原点，半径为r的球面

椭球面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
$$

圆锥面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=z^2
$$

横截面为椭圆

旋转抛物面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2
$$

横截面为抛物线

旋转单页双曲面

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$

旋转双页双曲面

$$
\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$