重要记录

变限积分求导

一、基本形式
若 f(x) 连续，$F(x) = ∫[a,x] f(t) dt$，则：
$$
\frac{d}{dx}F(x) = f(x)
$$
几何意义：积分变限函数 F(x)F(x) 的导数等于被积函数 f(x)f(x) 在上限处的值。

二、一般形式的变限积分求导

若积分上下限均为函数 $u(x)$ 和 $v(x)$，且被积函数含参变量 $t$，即：
$$
F(x)=∫ {v(x)}^{u(x)}​f(t,x)dt
$$
其导数为：
$$
\frac{d}{dx}F(x) = f(u(x),x)u’(x) - f(v(x),x)v’(x) + ∫{v(x)}^{u(x)}\frac{∂}{∂x}f(t,x) dt
$$
三、分类公式与示例

1.下限为函数，上限为常数
$$
\frac{d}{dx} ∫^{u(x)}a f(t) dt = f(u(x))·u’(x)
$$
2.下限为函数，上限为常数
$$
\frac{d}{dx} ∫{v(x)}^b f(t) dt = -f(v(x))·v’(x)
$$
3.上下限均为函数
$$
\frac{d}{dx} ∫_{v(x)}^{u(x)} f(t) dt = f(u(x))u’(x) - f(v(x))v’(x)
$$

二元函数极值

必要条件：设$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处一阶偏导数存在且取极值，则$f’_x(x_0,y_0)=0,f’_y(x_0,y_0)=0$

拉普拉斯定理

$\mu=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$，则$\frac{\partial^2 \mu}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \mu}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \mu}{\partial z^2}=0$

多元函数全微分

$z=f(x,y),dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

多元函数复合求导

$f(x) =
\begin{cases}
u = \phi(t)\
v = \psi(t)\
\end{cases}$，$z=f(u,v)$,则$\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot \frac{\partial v}{\partial t}$